The Transpose of a Matrix

The transpose of a matrix is formed by writing its columns as rows.

For Example:
           
            [   2   3   6   ]                                                                       [   2   4   5   ]
If A =    [   4   2   1   ] , then the transposed matrix will be A^T =        [   3   2   9   ]

            [   5   9   8   ]                                                                       [   6   1   8   ]

Properties of Matrices

If A and B are matrices ( with sizes such that the given matrix operations are defined ) and c is a scalar, then the following properties are true.

1. (A^T)^T = A                    Transpose of a transpose

2. (A+B)^T = A^T + B^T           Transpose of a Sum

3. (cA)^T = c(A^T)             Transpose of a Scalar Multiple

4. (AB)^T = B^TA^T             Transpose of a Product

Finding the Transpose of a Product

Show   (AB)^T.

        [   2   7    ]

A =  [   5   8    ]         B = [  2   2  4 ]

        [   1   3    ]                [  6   1   7]

Solution:

            [  2  7  ]         

AB =   [  5   8  ]   x  [  2  2  4  ]

            [  1   3  ]      [  6  1  7  ]

         [ (2)(2) + (7)(6)   (2)(2) + (7)(1)     (2)(4) + (7)(7)]

AB = [ (5)(2) + (8)(6)   (5)(2) + (8)(1)     (5)(4) + (8)(7)] 

         [  (1)(2) + (3)(6)   (1)(2) + (3)(1)     (1)(4) + (3)(7)] 

           [ 4 + 42     4 + 7     8 + 49   ]

AB =  [ 10 + 48  10 + 8    20 + 56 ]

           [ 2 + 18     2 +  3     4 + 21  ]

          [ 46    11   57 ] 

AB = [ 58     18   76 ] 

          [ 20      5    25 ]

           [ 46   58    20 ]  

AB^T = [ 11    18    5  ]

           [ 57   76    25 ]